ITMO-Study-Note

主页/Math/数学分析座谈会

  1. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности Определение предела последовательности и монотонных последовательностей. Эквивалентное определение точных граней множеств. Теорема Вейерштрасса, дополнение и обобщение.
    维尔斯特拉斯关于单调序列极限的定理 序列和单调序列极限的定义。 集合确界的等价定义。 魏尔斯特拉斯定理、加法和广义。

  2. Второй замечательный предел для последовательности Определение предела последовательности через неравенства, эпсилон-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Утверждение о том, что число не является пределом. Второй замечательный предел для последовательности.
    序列的第二次显著极限 通过不等式、ε邻域、邻域定义序列的极限（不需要证明定义的等价性）。 一个数不是极限的说法。 序列的第二个显著极限。

  3. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Определения: подпоследовательность, предел последовательности, частичный предел последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса и её дополнение. 子序列 Bolzano-Weierstrass定理 定义：子序列、序列的极限、序列的部分极限。 Bolzano-Weierstrass定理及其补码。

  4. Верхний и нижний пределы Определения: подпоследовательность, предел последовательности, частичный, верхний и нижний предел последовательности. Лемма о верхнем и нижнем пределах последовательности.
    上限和下限 定义：序列的子序列、序列极限、部分极限、上限和下限。 关于序列上下限的定理。

  5. Критерий Коши для последовательности Определение предела последовательности Утверждение о том, что число не является пределом последовательности. Определение фундаментальной последовательности. Утверждение о том, что последовательность не является фундаментальной. Критерий Коши.
    序列的柯西准则 序列极限的定义 一个数不是序列极限的说法。 基本序列的定义。 序列不是基本序列的说法。 柯西准则。

  6. Предел функции Определения: предельная точка, предел функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности и окрестности (доказательство эквивалентности определений по Коши не требуется), предел функции по Гейне. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.
    函数的极限 定义：极限点、通过不等式求函数的柯西极限、ε-δ-邻域和邻域（无需证明柯西定义的等价性）、函数的海涅极限。 柯西定义与 海涅定义的等价性。 Хотя определения по Коши и по Гейне имеют разные формулировки, они эквивалентны. То есть, последовательность сходится к пределу по Гейне тогда и только тогда, когда она сходится по Коши.
    尽管柯西定义和海涅定义的表述不同，但它们是等价的。 也就是说，当且仅当一个序列收敛于柯西极限时，它才会收敛于海涅极限。

  7. Локальные свойства функций, имеющих предел Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Определение бесконечных пределов. Теорема о трёх локальных свойствах функций, имеющих предел. 具有极限的函数的局部性质 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义函数的柯西极限（无需证明定义的等价性）。 无限极限的定义。 关于具有极限的函数的三个局部性质的定理。

  8. Арифметические свойства пределов функций в расширенном R Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Определение бесконечных пределов. Определение предела функции по Гейне. Теорема об арифметических свойствах пределов в расширенном R. 扩展 R 中函数极限的算术性质 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义函数的柯西极限（无需证明定义的等价性）。 无限极限的定义。 海涅函数极限的定义。 扩展 R 中极限的算术性质定理.

  9. Предельный переход в неравенствах для функций Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Определение бесконечных пределов. Теорема о влиянии неравенства между пределами функций на неравенство между функциями. Предельный переход в неравенствах. 函数不等式中的极限转换 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义函数的考希极限（无需证明定义的等价性）。 无限极限的定义。 函数极限间不等式对函数间不等式的影响定理。 不等式中的极限转换。

  10. Теорема о сжатой переменной для функций Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (с доказательством эквивалентности определений). Определение бесконечных пределов. Определение предела функции по Гейне. Теорема о сжатой переменной. 函数的压缩变量定理 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义考希函数的极限（附定义等价性证明）。 无限极限的定义。 海涅函数极限的定义. 压缩变量定理

  11. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной функции Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Определение монотонных функций. Эквивалентное определение точных граней множеств. Теорема о пределе монотонной функции. 关于单调函数极限的韦尔斯特拉斯定理 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义函数的柯西极限（不要求证明定义的等价性）。 单调函数的定义 集合精确边的等价定义。 单调函数的极限定理.

  12. Критерий Коши для функции Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Фундаментальная последовательность, критерий Коши для последовательностей (без доказательства). Критерий Коши для функции. 函数的柯西准则 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义函数的柯西极限（无需证明定义的等价性）。 基本序列、序列的柯西准则（无需证明）。 函数的柯西准则。 Фундаментальной (или Cauchy)последовательностью называется такая последовательность $(x_n)$ , что для любого $\epsilon > 0$ существует такое $N$ , что $|x_n - x_m| < \epsilon$ при $n, m > N$ выполняется неравенство: \(|x_n - x_m| < \epsilon\) для всех $n, m > N$ и $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$.

Критерий Коши для функцииДля функции f на промежутке [a,b] (или более общо, на некотором множестве) критерий Коши для функции выражается следующим образом: Функция f называется функцией Коши (или удовлетворяет критерию Коши), если для любого ε>0 существует такой δ>0, что для всех x,y из области определения функции, таких что ∣x−y∣<δ, выполняется: \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)
Это означает, что при малых значениях разности∣x−y∣ значения функции становятся сколь угодно близкими друг к другу. Такой критерий позволяет утверждать о непрерывности функции в точке, а также, что для функций, удовлетворяющих этому критерию, предел функции в точке существует.

  1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение БМ и ББ функций через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности. Лемма о связи БМ и ББ функций. Лемма о трёх свойствах БМ функций. Критерий существования конечного предела в терминах БМ функций. 定义无穷小和无穷大函数 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义无穷小函数和无穷大函数（无需证明定义的等价性）。 无穷小函数和无穷大函数的关系定理。 无穷小函数的三个性质定理。 关于无穷小函数的存在性定理.

  2. Первый замечательный предел Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Первый замечательный предел. Следствие о сравнении синуса и его аргумента. 第一次显著极限 通过不等式、ε-δ-邻域、邻域定义函数的柯西极限（无需证明定义的等价性）。 第一个显著极限 关于正弦及其参数比较的推论。 \(\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

  3. Второй замечательный предел для функции Определение предела функции по Коши через неравенства, ε-δ-окрестности, окрестности (доказательство эквивалентности определений не требуется). Определение предела функции по Гейне. Второй замечательный предел. 函数的次显著极限 柯西通过不等式、ε-δ-邻域、邻域给出的函数极限定义（无需证明定义的等价性）。 海涅函数极限的定义。 第二个显著极限。 \(\underset{\lVert x\rVert\to\infty}{\lim} \ (1+\frac{1}{x}) ^ x\ = e\)

  4. Асимптотическое сравнение функций Определения для сравнения функций (О-большое, о-малое, эквивалентность). Лемма о сравнении функций в терминах пределов. Определения БМ и ББ функций, сравнение их порядков. Теорема о замене на эквивалентную. Необходимое и достаточное условие замены на эквивалентную. 函数的渐近比较 函数比较的定义（O-大、O-小、等价）。 关于极限函数比较的定理。 BM 和 BB 函数的定义，它们的阶数比较。 等价替换定理。 等价替换的必要条件和充分条件。

This site is open source. Improve this page.