实验室工作 3.01(А) – 通过模拟法研究静电场
工作目的
通过实验模拟弱导电介质中的电势分布，构建等势面截面和电力线。
引言
静止电荷之间的相互作用通过电场实现。电场强度 $\vec{E}$ 定义为 $\vec{E}(\vec{r}) = \vec{F}(\vec{r})/q$（试探电荷 $q$）。电力线是切线方向与 $\vec{E}$ 一致的曲线，始于正电荷止于负电荷。
电势 $\varphi$ 定义为 $\varphi(\vec{r}) = W_{\Pi}(\vec{r})/q$，电场力做功 $A_{12} = q(\varphi_1 - \varphi_2)$。等势面是电势相同的点构成的曲面。
场强与电势的关系：
[
\vec{E} = -\nabla \varphi,\quad \varphi_2 - \varphi_1 = -\int_1^2 \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
]
梯度 $\nabla \varphi = \hat{e}_x \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{e}_y \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{e}_z \frac{\partial \varphi}{\partial z}$。
沿电力线两点间平均场强：
[
\langle E_{12} \rangle \approx \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{\ell_{12}}.
]
实验方法
利用弱导电介质（非蒸馏水）中的电流场模拟静电场。在电解槽中放置金属电极，通入低频交流电（避免极化），测量探针与参考电极间的电势差。装置如图 2、4 所示。
在均匀各向同性介质中，电流密度 $\vec{j} = \sigma \vec{E}$，满足 $\nabla \cdot \vec{j}=0$，$\nabla \times \vec{j}=0$，因此电场与静电场服从相同方程。电极表面近似等势，场强垂直于表面。
平行板电容器内部均匀电场：$\varphi(x) = \varphi_0 + E x$。
实验装置
- 电解槽，两侧平板电极
- 多功能信号发生器（提供 ~400 Hz 交流电）
- 电压表（高内阻，测量探针与左电极间电势差）
- 测量探针（可移动）
- 导电环（用于任务2）
- 两张 A4 毫米坐标纸
测量步骤
任务1：平行板电容器模型中的电势分布
- 在毫米纸上画出电极内边缘轮廓。检查水位接触电极下缘。
- 连接电路：探针 → 电压表 U 孔；左电极 → 电压表 * 孔；左右电极分别接发生器 * 和 ~ 孔。
- 打开电压表（交流档，量程 20 V），打开发生器（频率 400 Hz）。
- 探针碰右电极，调节发生器输出电压，使电压表读数为 14.0 V（误差 ±0.1 V）。
- 将探针垂直浸入水中，定位在 (X=2 cm, Y=2 cm)，记录该点电势 $\varphi_1$，在毫米纸上标出该点并注上电势值。
- 移动到 Y=6 cm 水平线，水平移动探针，找到电势仍等于 $\varphi_1$ 的点，标记。
- 依次在 Y=10, 14, 18 cm 水平线上重复步骤 6，标记所有电势为 $\varphi_1$ 的点。
- 返回 Y=2 cm 线，选择新起始点使电势比 $\varphi_1$ 低 2 V（即 $\varphi_2 = \varphi_1 - 2$ V），重复步骤 5–7，标记该等势线所有点。
- 继续以 2 V 步长（$\Delta \phi = 2$ V）寻找后续等势线，直到最后一条线靠近左电极 (X≈28 cm, Y=2 cm)。
- 测量左右电极的电势并记录在纸上。
任务2：存在导电环时的电势分布
- 将导电环放入电解槽中央（环的上表面不应被水淹没），在第二张毫米纸上画出环的轮廓。
- 用探针接触环，测量并记录环的电势（整个环等势）。
- 类似任务1的步骤 5–8 进行测量，但电势步长改为 $\Delta \phi = 1$ V，在环附近垂直步长可缩小到 1–2 cm 以精细描绘。
- 实验结束，关闭电源，取出环放在滤纸上吸干。
数据处理
- 绘制等势线：在两张毫米纸上，用平滑曲线连接电势相等的点，标出电势值。
- 绘制电力线：利用电力线与等势线正交的性质，从选择的起始点（如 X=0 cm, Y=2,4,…,18 cm）画出电力线，箭头指向电势降低方向。注意在任务2中，部分电力线起止于环表面。
- 计算场强（任务1）：
- 在电力线上取两点（如中心区和电极附近），量取线段长度 $\ell_{12}$，用公式 $E \approx (\varphi_1 - \varphi_2)/\ell_{12}$ 计算平均场强。估算误差。
- 用公式 $\sigma’ \approx -\varepsilon_0 \frac{\Delta \varphi}{\Delta \ell_n}$ 估算电极表面电荷密度（沿法线方向测微小位移 $\Delta \ell_n$ 的电势变化）。
- 分析任务2：观察电力线疏密，找出场强最小 $E_{\min}$ 和最大 $E_{\max}$ 的区域，描述位置并估算值。
- 绘制 $\varphi(X)$ 曲线：对 Y=10 cm 水平线，从两张毫米纸上提取各点的电势和 X 坐标，在同一坐标系中绘制两条曲线（有环和无环）。比较两者差异，得出结论（如环如何扰动电场）。
注意事项
- 探针必须垂直浸入，避免扰动水面。
- 移动探针时缓慢，待电压表读数稳定再记录。
- 坐标测量误差：$\Delta X = \pm 1$ mm，$\Delta Y = \pm 0.5$ mm。
- 实验过程中保持发生器输出电压不变。
报告要求
- 附上两张标有等势线和电力线的毫米纸扫描件/照片。
- 包含计算示例和误差分析。
- 比较两种场分布的 $\varphi(X)$ 图，撰写结论。